Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là $M$ và $m$ thì:

M + n = \frac{4}{3}

M . n = \frac{3}{4}

\frac{M}{n} = \frac{4}{3}

M - n = \frac{4}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có

x^{2} + 3 x + 3 = {(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0, \forall x

Cách 1:

f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x^{2} + 3 x + 3} + a - a = \frac{(a + 1) x^{2} + (3 a + 4) x + 3 a + 5}{x^{2} + 3 x + 3} - a

Xét

Δ = {(3 a + 4)}^{2} - 4 (a + 1) (3 a + 5) = 0

\Leftrightarrow 9 a^{2} + 24 a + 16 - 12 a^{2} - 32 a - 20 = 0

\Leftrightarrow 3 a^{2} + 8 a + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{- 2}{3} \\ a = - 2 \end{array}

Ta có

f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x^{2} + 3 x + 3} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3 (x^{2} + 4 x + 5) - 2 (x^{2} + 3 x + 3)}{3 (x^{2} + 3 x + 3)} + \frac{2}{3}

= \frac{{(x + 3)}^{2}}{3 (x^{2} + 3 x + 3)} + \frac{2}{3} \geq \frac{2}{3}, \forall x \Rightarrow m = \frac{2}{3}

.
Lại có

f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x^{2} + 3 x + 3} - 2 + 2 = \frac{(x^{2} + 4 x + 5) - 2 (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} + 2

= \frac{- {(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 3 x + 3} + 2 \leq 2 \Rightarrow M = 2

\Rightarrow M - m = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

.
Cách 2: Ta có

y = f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x^{2} + 3 x + 3} \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 5 = y (x^{2} + 3 x + 3)

\Leftrightarrow (y - 1) x^{2} + (3 y - 4) x + 3 y - 5 = 0

TH1:

y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = - 2

TH2:

y - 1 \neq 0 \Leftrightarrow y \neq 1

Phương trình

(y - 1) x^{2} + (3 y - 4) x + 3 y - 5 = 0

có nghiệm

x

khi và chỉ khi

Δ \geq 0

\Leftrightarrow Δ = {(3 y - 4)}^{2} - 4 (y - 1) (3 y - 5) \geq 0

\Leftrightarrow 3 y^{2} - 8 y + 4 \leq 0 \Leftrightarrow y \in [\frac{2}{3}; 2]

Từ và

\Rightarrow M = 2, m = \frac{2}{3}

\Rightarrow M - m = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học