[Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log_{2}^{2} (4 x) - m \log_{\sqrt{2}} x - 2 m - 4 = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[1; 8]$ ?

3

1

2

5

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
ĐK:

x > 0

{(2 + \log_{2} x)}^{2} - 2 m \log_{2} x - 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + 4 \log_{2} x = 2 m (\log_{2} x + 1) (1)

.
Đặt

t = \log_{2} x; x \in [1; 8] \Rightarrow t \in [0; 3]

;
Khi đó

(1)

trở thành

\frac{t^{2} + 4 t}{t + 1} = 2 m (2)

PT (1) có nghiệm

x > 0

khi và chỉ khi (2) có nghiệm

t \in [0; 3]

.
Xét hàm số

f (t) = \frac{t^{2} + 4 t}{t + 1}

với

t \in [0; 3]

Có

f (t)

liên tục trên

[0; 3]

;

f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t + 4}{{(t + 1)}^{2}^{}} > 0, \forall t \in [0; 3]

.
Suy ra

f (t)

đồng biến trên

[0; 3]

(2) có nghiệm

t \in [0; 3]

\Leftrightarrow f (0) \leq 2 m \leq f (3) \Leftrightarrow 0 \leq m \leq \frac{21}{8}

.
Do

m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học