Cho tứ diện $A B C D$ có $\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90 °$ ; $A B = a; A C = a \sqrt{5}; \hat{A B C} = 135 °$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A B D)$ , $(B C D)$ bằng $30 °$ . Thể tích của tứ diện $A B C D$ là

\frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}}

\frac{a^{3}}{\sqrt{2}}

\frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}

\frac{a^{3}}{6}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Vẽ

A H ⊥ (B C D)

H \in (B C D)

.
Vẽ

H K // B C

K \in B D

, có

B D ⊥ B C

\Rightarrow H K ⊥ B D

, mà

A H ⊥ B D

\Rightarrow B D ⊥ (A H K)

\Rightarrow B D ⊥ A K

.
Nên

(\hat{(A B D), (B C D)}) = \hat{A K H} = 30 °

Vẽ

H M // B D

M \in B D

, có

B C ⊥ B D

\Rightarrow H M ⊥ B C

, mà

A H ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ A M

, có góc

\hat{A B C} = 135 °

.
Suy ra

\hat{A B M} = 45 °

Δ A M B

vuông tại

M

có

\hat{A B M} = 45 °

.
Suy ra

Δ A M B

vuông cân tại

B

\Rightarrow A M = M B = \frac{A B}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}

.
Tứ giác

B K H M

là hình chữ nhật, nên

B M = H K

Δ A H K

vuông tại

H

có

\hat{A K H} = 30 °

, nên

A H = \frac{H K}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}

A K = 2 A H = \frac{2 a}{\sqrt{6}}

Δ B A D

vuông tại

A

có

A K

là đường cao nên

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

\Rightarrow \frac{3}{2 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}}

\Rightarrow A D = a \sqrt{2}

và

B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{3}

.
Có

B C = C M - B M

C M^{2} = C A^{2} - A M^{2} = 5 a^{2} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{9 a^{2}}{2}

\Rightarrow B C = \frac{3 a}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}

Có

V = \frac{1}{3} A H . S_{B C D} = \frac{1}{6} A H . B D . B C

= \frac{1}{6} \frac{a}{\sqrt{6}} . a \sqrt{3} . a \sqrt{2}

= \frac{a^{3}}{6}

Vậy

V = \frac{a^{3}}{6}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học