Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $A^{'} B^{'}, B C, C C^{'}$ . Mặt phẳng $(M N P)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa điểm $B$ gọi là $V_{1}$ . Gọi $V$ là thể tích khối lăng trụ. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V}$ .

\frac{49}{144}

\frac{95}{144}

\frac{73}{144}

\frac{49}{95}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

I = N P \cap B B^{'}, G = N P \cap B^{'} C^{'}, J = M G \cap A^{'} C^{'}, H = I M \cap A B .

Ta có

\frac{I H}{I M} = \frac{I N}{I G} = \frac{I B}{I B^{'}} = \frac{1}{3},

\frac{G C^{'}}{G B^{'}} = \frac{G P}{G I} = \frac{1}{3}, \frac{G J}{G M} = \frac{1}{2}

Ta có

V_{I . B^{'} M G} = \frac{1}{3} d (I, (B^{'} M G)) . S_{B^{'} M G} = \frac{1}{3} . \frac{3}{2} d (B, (B^{'} M G)) . \frac{1}{2} . d (G, B^{'} M) . B^{'} M

= \frac{3}{8} d (B, (B^{'} M G)) . \frac{1}{2} d (G, B^{'} M) . B^{'} A^{'} = \frac{3}{8} V

\frac{V_{I . B H N}}{V_{I . B^{'} M G}} = \frac{I B}{I B^{'}} . \frac{I H}{I M} . \frac{I N}{I G} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{I . B H N} = \frac{1}{27} V_{I . B^{'} M G} = \frac{1}{72} V

\frac{V_{G . C^{'} J P}}{V_{G . B^{'} M I}} = \frac{G C^{'}}{G B^{'}} . \frac{G J}{G M} . \frac{G P}{G I} = \frac{1}{18} \Rightarrow V_{G . C^{'} J P} = \frac{1}{18} V_{I . B^{'} M G} = \frac{1}{48} V

.
Khi đó

V_{1} = V_{I . B^{'} M G} - V_{I . B H N} - V_{G . C^{'} J P} = \frac{3}{8} V - \frac{1}{48} V - \frac{1}{72} V = \frac{49}{144} V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{49}{144}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học