Cho tam giác $A B C$ , có ba cạnh $a, b, c$ , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

\sin \frac{A}{2} . \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

\cos \frac{A}{2} . \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

\tan \frac{A}{2} . \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

\cot \frac{A}{2} . \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Nếu ba cạnh

a, b, c

lập thành cấp số cộng thì ta có:

a + c = 2 b

.
Ta có:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 R . \sin A \\ b = 2 R . \sin B \\ c = 2 R . \sin C \end{cases}

. Suy ra:

\sin A + \sin C = 2 \sin B

\Leftrightarrow 2 \sin \frac{A + C}{2} \cos \frac{A - C}{2} = 4 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} (1)

. Do

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{°} \Rightarrow \frac{\hat{A} + \hat{C}}{2} = 90^{°} - \frac{\hat{B}}{2}

Suy ra:

\{\begin{cases} \sin \frac{A + C}{2} = \cos \frac{B}{2} \\ \cos \frac{A + C}{2} = \sin \frac{B}{2} \end{cases}

, khi đó

(1) \Rightarrow \sin \frac{A + C}{2} . \cos \frac{A - C}{2} = 2 \cos \frac{A + C}{2} . \sin \frac{A + C}{2}

\Leftrightarrow \cos \frac{A - C}{2} = 2 \cos \frac{A + C}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{C}{2} = 2 (\cos \frac{A}{2} . \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{C}{2})

\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} . \cos \frac{C}{2} = 3 \sin \frac{A}{2} . \sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

. Chọn C

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học