Trong không gian với hệ tọa độ $Ox y z$ , cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ và điểm $I (2; 1; - 1)$ . Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với đường thẳng $Δ$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm A,B, Tính độ dài đoạn thẳng AB

A B = 2 \sqrt{6}

A B = 24

A B = 4

A B = \sqrt{6}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải

Ta có, đường thẳng

Δ

đi qua điểm

M (- 2; 1; 0)

và nhận

\vec{u_{Δ}} = (2; 2; - 1)

làm véctơ chỉ phương.

\vec{I M} = (- 4; 0; 1)

Bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng

Δ

là:

R = d (I, Δ) = \frac{|[\vec{I M}, \vec{u_{Δ}}]|}{|\vec{u_{Δ}}|} = 2 \sqrt{2}

.
Cách 1 : Mặt cầu tâm

I (2; 1; - 1)

, bán kín

R = 2 \sqrt{2}

có phương trình :

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 8

.
Trục

Ox

có phương trình tham số :

\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}

.
Tọa độ

A, B

là nghiệm của hệ :

\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 8 \end{cases}

.
Từ đó, ta được

A (2 - 2 \sqrt{6}; 0; 0), B (2 + 2 \sqrt{6}; 0; 0)

. Vậy

A B = 2 \sqrt{6}

.
Cách 2 : Ta có :

H (2; 0; 0)

là hình chiếu của

I

trên

Ox

.
Khi đó :

A B = 2 A I = 2 \sqrt{I A^{2} - I H^{2}} = 2 \sqrt{8 - 2} = 2 \sqrt{6}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học